|
بحثى در جامعه شناسى رياضيات با مرورى
بر افكار و زندگى لوئيتزن يان براور
شهودگرايى و رياضيات
|
|
|
غلامحسين مقدم حيدرى/ بخش دوم و پايانى
كارل منهايم در بزرگترين اثر خود، ايدئولوژى و اتوپيا، نخستين صورت بندى منظم از جامعه شناسى معرفت را مطرح مى كند.وى معتقد است هر پژوهنده اى جهان را مطابق مقام و پايگاه اجتماعى خود مى بيند و «انديشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعى معينى جهت مى گيرد» اما از نظر او معرفت علمى و رياضيات حسابى جداگانه دارند.منهايم معتقد است: «اين كه دو ضرب در دو برابر است با چهار، به هيچ روى معلوم نمى كند كه كى، كجا و توسط چه كسى اين قاعده برقرار گرديده» در واقع منهايم معتقد است كه علوم دقيقه همچون رياضيات و علوم طبيعى، علومى مستقل از اميال و انگيزه هاى دانشمندان هستند، اما بررسى هاى جامعه شناختى - تاريخى نشان مى دهند كه رياضيدانان و معرفت رياضى كه مى سازند، همچون حوزه هاى معرفتى ديگر، متأثر از شرايط اجتماعى هستند.در اين مقاله خواهيم ديد كه شرايط اجتماعى رمانتيسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمى بود كه سبب پيدايش رياضيات شهودگرايى شد. بخش اول اين مقاله را روز شنبه خوانده ايد آنچه پيش روى شماست بخش پايانى اين بررسى است.
۳- شهود پايه
عقل گريزى عصر رمانتيك سبب شده بود كه براور با دورى جستن از استدلال هاى عقلى، تلاش كند تا با غور كردن در درون احساساتش به دنبال احساسات بنيادينى بگردد كه بتواند اعتقادات زندگى خويش را برآن بنا كند.پس از بازشناختن خود و خداى خويش، بزرگترين دلمشغولى براور تفكر و انديشيدن درباره رياضيات بود.رياضيات چيست و تفكر رياضى بر چه مبنايى قرار دارد پرسش هايى هستند كه وى با آنها روبه رو بود.وى آنقدر رياضى مى دانست كه با نظرات رياضيدانان معاصرش آشنا باشد.آيا رياضيات همانگونه كه راسل و وايتهد مى گفتند، چيزى جز منطق نيست يا آنگونه كه هيلبرت مى گفت مجموعه اى از علائم و نمادهايى است كه با اصول و قواعدى كه تعريف مى شوند، مدل هاى رياضى را به وجود مى آورند او كه ريشه عميق ترين اعتقاداتش به خود را در درونى ترين احساساتش يافته بود، پس چرا در اين مورد نيز به سراغ احساساتش نرود و مبانى رياضى را در درونى ترين احساساتش نجويد
براور هنگامى كه به درون نگرى مى پردازد و سعى در خود آگاهى دارد، حالت هايى در آگاهى خويش احساس مى كند كه در آن حالت ها احساسات همچون سيالى مى آيند و مى روند.وى مى گويد: به نظر مى رسد كه «آگاهى در عميق ترين مأوايش نوسانى آهسته، غيرارادى و برگشت پذير ميان سكون و احساس است.» ذهن همواره در حال گذر از يك احساس كنونى به احساس كنونى ديگر است.در آخرين حالت، صورت حسى پيشين به عنوان احساس گذشته براى ذهن باقى مى ماند، ذهن مى تواند از اين دو احساس يعنى احساس پيشين و احساس كنونى فراتر رود و اين دو احساس را به عنوان تركيبى واحد ببيند.براور از تركيب دو صورت حسى گذشته و حال به عنوان تركيبى واحد با عنوان تجربه «دوگانگى» نام مى برد.اين تجربه به واسطه ذهن مى تواند از اين دو احساس يعنى احساس پيشين و احساس كنونى فراتر رود و اين دو احساس را به عنوان تركيبى واحد ببيند.براور از تركيب دو صورت حسى گذشته و حال به عنوان تركيبى واحد با عنوان تجربه دوگانگى نام مى برد.اين تجربه به واسطه «گذر زمان» به وجود مى آيد.به عبارت ديگر دوگانگى با گذر زمان متولد مى شود.ذهن با انتزاع از تعداد زيادى از تجربه هاى دوگانگى به نخستين دو عدد طبيعى يعنى ۱ و ۲ مى رسد.
براور اين فرايند را چنين توصيف مى كند؛
«رياضيات وقتى به وجود مى آيد كه دوگانگى هايى كه با گذر زمان خلق مى شوند، توسط ذهن از هر محتوايى عارى شوند.در آن هنگام اين شكل خالى از هر محتوايى كه اساس مشترك همه دوگانگى ها است، به عنوان شهود پايه رياضيات باقى مى ماند كه بدون هيچ محدوديتى آشكار شده است» (براور ۱۹۴۸ ص ۴۸۲).
در واقع براور معتقد است كه انسان اعداد طبيعى را در ذهن خود مى سازد.به عبارت ديگر نه خود عمل ساختن و نه مفاهيم ساخته شده، نمى توانند كاملاً از ذهن سازنده آنها جدا باشند.يك مفهوم رياضى از عملى كه آن را به وجود مى آورد و به دست مى دهد، قابل تفكيك نيست.ذهن تنها يك سازنده يا مادرى كه وجود مستقلى را مى زايد، نيست.اشياى رياضى تنها به عنوان يك فكر يعنى بخشى از آگاهى حيات دارند.علاوه بر اين «ذهن خالق» تماماً درگير عمل ساختن است.وقتى براور از عمل «آگاهانه» به واسطه «اراده» صحبت مى كند در واقع عنصر آزادى را كه عنصر حياتى هر ساختنى است در حوزه رياضيات وارد مى كند.بويژه بخش هايى از رياضيات كه به عنوان عملگرها، رابطه ها و توابع توصيف مى شوند.
بنابراين وجود يك شىء رياضى، حضور آن به عنوان يك فكر در آگاهى است.به عبارت ديگر «خلق شدن يا بودن يا ساخته شدن با عناصرى از شهود در شهود پايه است.» در اين شهود پايه مفاهيم دوگانگى، در عين حالى كه از هم جدا هستند با هم نيز يكى هستند، به گونه اى كه تنها در يك عمل شهودى قابل خلق شدن هستند.«يك شهود پايه پيشينى و منفرد كه مى تواند به عنوان ثبات در تغيير يا وحدت در كثرت توصيف شود...نخستين عمل ساختى اى است كه دو چيز جدا از هم را با هم مى پندارد.»
پس از نخستين عمل ساختى كه منجر به ساخته شدن اعداد ۱ و ۲ مى شود، ما مى توانيم با تكرار اين فرايند اعداد طبيعى بعدى را براى ذهن مشخص كنيم.با اين روش هيچ چيزى به عنوان تماميت كاملى از اعداد طبيعى وجود ندارد.به عبارت ديگر ما نمى توانيم از «مجموعه اعداد طبيعى» صحبت كنيم، بلكه ما تنها مى توانيم از فرايند ساخته شدن گام به گام اعداد طبيعى سخن به ميان آوريم.
پس از ساخته شدن اعداد طبيعى به روش فوق، مى توان از جمع ميان دو عدد طبيعى صحبت كرد.براى مثال ما چگونه مى دانيم كه ۱۲= ۵+۷ مى شود ابتدا، در فكرمان ۷ را مى سازيم.سپس عمل ساختن ويژه اى كه ۷ را به ۵ مى افزايد انجام مى دهيم.سپس ۱۲ را مى سازيم و سرانجام عمل ساختن مقايسه اى را انجام مى دهيم كه برابر بودن مجموع ۷ و ۵ با ۱۲ را برقرار مى سازد.چنين رياضياتى كه اساس آن بر ساختن گام به گام بر مبناى شهود پايه بنا شده است، رياضيات شهودى يا رياضيات ساختى مى نامند.
۴- زبان- منطق
جنبش رمانتيك باب اين بحث را گشود كه روشنگرى خصم جهان ارزشى آدمى است و با الگوبردارى يكسويه از علم طبيعى انسان را به شىء فرومى كاهد و جامعه ارگانيك بشرى را به جامعه مكانيك مبدل مى سازد.تحت تأثير همين نگاه به دنياى مدرن، براور معتقد است كه بشر اوليه به وسيله نگاه، ايما و اشاره و ارتباط هاى روحى از فواصل دور با يكديگر ارتباط برقرار مى كرد.اما از زمانى كه تعقل و تفكر پا به عرصه گذاشت اين ارتباط با زبان انجام گرفت.به بيانى ديگر «زبان شريك بلافصل تعقل است».
انسان ها كوشيدند كه خود و فرزندانشان را با زبان صورى آموزش دهند كه با مشقت بسيارى همراه بود و در برقرار كردن ارتباط ميان آنها چندان موفق نبود.نيازها، آرمان ها و آرزوهاى انسان ها متفاوتند، از اين رو زبان را به معناهاى متفاوتى به كار مى برند و در نتيجه قادر نيستند با يكديگر ارتباط مستقيم و بدون ابهام داشته باشند.«زبان تنها مى تواند مشايعت كننده فهم و درك متقابل از قبل موجود باشد.» فهم و دركى كه به واسطه ارتباط ميان روح انسان ها به وجود آمده است.از نظر براور «زبان تنها در فرهنگ بشرى و به واسطه آن به حيات خود ادامه مى دهد كه از طرفى به فهمى متقابل نيازمند است و از طرف ديگر ارتباط مستقيم ميان انسان ها را ناممكن مى سازد.» از اين رو انسان ها «در ترس و واهمه تنهايى خودشان به صورت ماشين هايى اتوماتيك درمى آيند، بردگان ماشين غول پيكر ارتباط جمعى» حقيقت اغلب به وسيله كلمات يا تركيبات پيچيده اى از كلمات، كه از زبان جمعى وام گرفته شده است، انتقال داده مى شود.بنابراين براى موضوعى كه به وسيله زبان بيان مى شود، يعنى با مجموعه اى از كلمات، همواره تعريفى از پيش ارائه شده وجود دارد كه افراد مطابق آن با موضوع رفتار مى كنند.همچنين سيستمى از قوانين كلى به نام منطق وجود دارد كه مى توان موضوع مورد نظر را از مجموعه اى از سيستم هاى كلمه اى استنتاج كرد.در اين حالت نيز حقيقت موضوع مورد نظر به وسيله منطق تحت تأثير قرار مى گيرد و دوباره افراد به جاى آن كه با حقيقت موضوع در رابطه باشند، تحت تأثير منطق با آن رفتار مى كنند.بنابراين «منطق ابزار اطمينان بخشى براى كشف حقايق نيست» اما رياضيات كلاسيك از همين منطق براى رسيدن به حقايق ناشناخته استفاده مى كند.و به شكل ويژه اى اصل طرد شق ثالث را براى اثبات هاى رياضى به كار مى گيرد كه مطابق آن يك گزاره يا صادق يا كاذب است.
براور معتقد است كه «رياضيات شهودگرايى نشان مى دهد كه قضاياى رياضيات به طور صريح و قطعى از ساختن هاى درون نگرانه استنتاج مى شود» و از اين رو معتبر است.اگر منطق نيز بخواهد قابل اتكا و اطمينان باشد بايد شيوه ساختنى بودن متناهى را به كار گيرد كه مطابق آن قانون طرد شق ثالث نفى مى شود.
عدد x را در نظر بگيريد كه برابر k(۱-) تعريف مى شود، كه در آن k شماره نخستين رقم در بسط اعشارى عدد پى است كه دنباله ارقام متوالى ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ با آن شروع مى شود، و در صورت نبودن چنين kيى، ۰=x است حال گرچه x خوش تعريف است، نمى توانيم بلادرنگ، تحت محدوديت هاى شهودگرا، بگوييم كه گزاره ۰=x درست يا نادرست است.تنها به شرطى مى توان گفت اين گزاره درست است كه برهانى از آن را بتوان با تعدادى مراحل متناهى ساخت، و تنها به شرطى مى توان گفت نادرست است كه برهانى از چنين وضع با تعدادى مراحل متناهى ساخته شود.مادامى كه يكى از اين دو برهان ساخته نشده اند، گزاره نه درست است و نه نادرست و قانون طرد شق ثالث غيرقابل كاربرد است.اما اگر k را به عددى كوچكتر از مثلاً يك بيليون محدود كنيم، آن گاه كاملاً درست است بگوييم كه اينك گزاره درست يا نادرست است، زيرا، براى k كوچكتر از يك بيليون، درستى يا نادرستى گزاره را مطمئناً مى توان طى يك رشته متناهى از محاسبات تعيين كرد.
بنابراين، براى شهودگرايان، قانون طرد شق ثالث براى مجموعه هاى متناهى برقرار است، ولى نبايد آن را در مورد مجموعه هاى نامتناهى در رياضيات به كار برد.آنگونه كه ايوز، مورخ مشهور رياضيات مى گويد، «براور تقصير چنين اوضاعى را به گردن بسط منطق از لحاظ جامعه شناختى مى اندازد.قوانين منطق در زمانى از تكامل انسان ظاهر شده است كه وى زبان مناسبى براى پرداختن به مجموعه هاى متناهى از پديده ها در اختيار داشته است؛ او سپس خطاى به كار بردن اين قوانين را در مجموعه هاى نامتناهى در رياضيات مرتكب و نتيجه آن شده است كه تعارض ها در احكام ظاهر شوند.»
مطابق اين رياضيات، تصور صدق يا كذب يك حكم رياضى مستقل از معرفت ما نسبت به آن حكم، بى معنى است.يك حكم راست است، اگر برهانى براى آن داشته باشيم، يعنى روشى ساختى كه در نهايت به آن حكم برسيم.همچنين يك حكم غلط است، اگر بتوانيم نشان دهيم كه فرض اين كه برهانى براى آن وجود دارد، منجر به تناقض مى شود.براى مثال A^B درست است، اگر بتوانيم برهانى براى آن ارائه دهيم و اين بدان معنى است كه برهانى براى A و برهانى براى B ارائه نماييم.همين طور AvB درست است، هرگاه بتوانيم برهانى براى آن ارائه دهيم و اين به معنى آن است كه برهانى براى A يا برهانى براى B ارائه كنيم.همچنين برهان براى تركيب شرطى ]B A عبارتست از ساختمانى كه هر برهان براى A را به برهانى براى B تبديل مى كند.
در منطق شهودگرايى، تناقض هيچ برهانى ندارد و هر برهان براى نقيض يك گزاره يعنى ~A ساختمانى است كه هر برهان فرضى براى A را به برهانى براى يك تناقض تبديل مى كند.از اين رو Av~A از نظر ساختى معتبر نيست.البته بايد توجه كرد كه گرچه اصل طرد شق ثالث معتبر نيست، اما اين بدان معنى نيست كه (Av~A)~ درست است.صورت هاى ديگر اين اصل، مثل ~~A]A نيز در منطق شهودگرايى معتبر نيستند.بنابراين «برهان خلف» به معنى كلاسيك آن در منطق شهودگرايى معتبر نيست، زيرا در برهان خلف، استنتاج به اين شكل است كه وقتى مى خواهيم حكم A را ثابت كنيم، فرض مى كنيم چنين نباشد يعنى ~A بعد به تناقض مى رسيم.در منطق كلاسيك در اين مرحله A را نتيجه مى گيريم، اما آنچه كه مى توانيم بگوييم ~~A است و چون ~~A]A اصلى معتبر نيست، نمى توانيم A را نتيجه بگيريم.براور نشان داد كه براى هر حكم A در منطق شهودگرايى داريم: ~A~~~A بنابراين برهان خلف براى احكامى كه به صورت نقيض هستند، يعنى مى توان آنها را به شكل ~A نشان داد، معتبر است.
از نظر معناشناسى نيز بين منطق شهودگرايى و منطق كلاسيك فرقى اساسى وجود دارد.برخلاف منطق كلاسيك كه معناشناسى آن مبتنى بر جهانى ثابت از اشيا است، جهان معناشناسى منطق شهودگرايى متغير است.اين تغيير هم در اشيا و هم در امور واقع اتفاق مى افتد.معناشناسى هاى مختلفى براى بيان جهان متغير از اشيا ارائه شده است كه از ميان آنها مى توان به معناشناسى كريپكى و جبيرهيتينگ اشاره نمود.
* جمعبندى
همانطور كه ملاحظه شد، پيامدهاى رياضيات شهودگرايى جنبه انقلابى دارند.پافشارى بر روش هاى ساختى به تصورى از وجود در رياضيات منجر مى شود كه آن چيزى نيست كه همه رياضيدانان بدان اعتقاد داشته باشند.براى شهودگرايان، هستى كه اثبات وجود آن لازم است، بايد در تعدادى مراحل متناهى ساختنى باشد، كافى نيست كه فرض عدم وجود آن هستى منجر به تناقض شود.اين بدان معنى است كه بسيارى از براهين وجودى اى كه در رياضيات كنونى ديده مى شوند، براى شهودگرايان قابل قبول نيستند.
از پيامدهاى ديگر روش ساختى، نظريه مجموعه ها است.از نظر شهودگرايان، يك مجموعه را نمى توان به عنوان گردايه ساخته و پرداخته اى تصور كرد، بلكه بايد آن را به عنوان قانونى تلقى كرد كه به كمك آن عناصر مجموعه را بتوان به يك روال قدم به قدم بنا كرد.اين مفهوم مجموعه امكان وجود مجموعه هاى تناقض آميزى مانند «مجموعه همه مجموعه ها» را رد مى كند.
در حال حاضر شهودگرايان در بازسازى قسمت هاى مهمى از رياضيات كنونى، منجمله يك نظريه پيوستار و يك نظريه مجموعه ها توفيق يافته اند، ولى هنوز راه زيادى در پيش است.اما بايد توجه كرد كه از زمان پيدايش كامپيوترها و زبان هاى برنامه نويسى مجرد، مى دانيم كه ساختن هايى از نوع روش ساختى رياضيات شهودگرايى بازى بيهوده اى نيستند.آنها در قلب رياضيات هستند.
* پژوهشگر پژوهشگاه علوم انسانى و مطالعات فرهنگى
|
